Which is larger? $50^{99}$ or $99!$
滑youtube的時候，神秘的演算法推薦了我這部影片(從此我的首頁就被數學佔領了)，這篇內容主要就是比較 $50^{99}$ 跟 $99!$ 的大小，以及證明 $for$ $n \geq 2$ , $\left({n+1}\over{2}\right)^n$ $>$ $n!$
SIMPLE
原題目是求 $50^{99}$ 跟 $99!$ 比較大，那麼我們就直接對這兩個數進行操作。
考慮 $R=$ $\frac{ 50^{99} }{99!}$ ，可知 :
- if $R>1$ $\Rightarrow$ $50^{99} > 99!$
- if $R<1$ $\Rightarrow$ $50^{99} < 99!$
接著把 $R$ 展開:
分母交換位置:
$\because$ 分母的部分相加皆為 $100=(50+k)+(50-k)$ ,
又 $(50+k)(50-k)=50^2 - k^2\leq50^2$
$\therefore$ 分子的部分皆大於分母
$\therefore$ $R>1$
$\therefore$ $50^{99}>99!$
GENERAL
下面將利用數學歸納法證明$for$ $n \geq 2$ , $\left({n+1}\over{2}\right)^n$ $>$ $n!$ 成立。
Step 1
將 $n=2$ 帶入 $\left({2+1}\over{2}\right)^2$ $= \frac{9}{4}$ $>$ $2!=2$。
$\therefore$ 當 $n=2$ 時，命題成立。
Step 2
Claim 當 $n=k$ 時，命題 ${(k+1)^k}\over{2}$ $>$ $k!$ 成立。
Step 3
考慮 $n=k+1$
$suppose$ $\left({(k+1)+1}\over{2}\right)^{k+1} > (k+1)!$
$\left({(k+1)+1}\over{2}\right)^{k+1}$
= $\frac{(k+1)^{k+1} +C{k+1\choose1}(k+1)^k+ X }{2\times2^k}$ > $\frac{(k+1)^{k+1}+{(k+1)(k+1)^k}}{2\times 2^k}=\frac{(k+1)^{k+1}}{2^k}=(k+1)\frac{(k+1)^k}{2^k}$
$\because \frac{(k+1)^k}{2}$ $>$ $k!$
$\therefore (k+1)\frac{(k+1)^k}{2^k} > (k+1)\times k!=(k+1)!$
$\therefore \left({(k+1)+1}\over{2}\right)^{k+1} > (k+1)!$
($X$ 是分子展開後的剩下部分，$X>0$)
因此藉由數學歸納法，我們證明了 $for$ $n \geq 2$ , $\left({n+1}\over{2}\right)^n$ $>$ $n!$ 成立。
把 $n=99$ 帶入，即可得到 $50^{99} > 99!$ 。
We are the 21st century
# I love Python,Python number one
import math
print (pow(50,99)>math.factorial(99));
True